Caractérisation des moments d'inertie d'un système matériel

Introduction

Cet article est une réécriture de ce papier, dont une version abrégée a fait l'objet d'une note aux C.R.A.S. : P. Barbaroux, Caractérisation des moments d'inertie d'un système matériel, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1067-1070. (Note présentée par Alain Connes). Soit \(\E\) un espace affine euclidien de dimension \(n≥3,\) et \(E\) l'espace vectoriel associé. Considérons un système matériel \(\S.\) Disons qu'il est défini par la donnée d'une mesure réelle \(\rho\) sur la tribu de Lebesgue de \(\E,\) à support compact pour éviter les problèmes de convergence.Sans grand intérêt ici ; on s'intéresse essentiellement aux aspects algébriques. On peut considérer pour chaque sous-espace affine \(\F\) de \(\E\) le moment d'inertie de \(\S\) par rapport à \(\F,\) défini par \[I_{\S}(\F)=\int_{\E}d(m,{\cal F})^2\d\rho(m).\] L'application \(f:\F\mapsto I_{\S}(\F)\) vérifie les trois propriétés suivantes :

1. Additivité perpendiculaire Pour tous sous-espaces affines \({\F},\) \(\G\) perpendiculaires (i.e. \(\F^\perp\perp\G^\perp),\) \[f(\F\cap \G)=f(\F)+f(\G)\]
2. Théorème de Huygens Pour \(x\perp\F,\) on a, en notant \(M\) la masse totale de \(\S,\)
    a) Si \(M≠0,\) et si \(\F\) passe par le centre d'inertie de \(\S,\) alors \[f(\F+x)=f({\F})+M||x||^2\,;\]  b) Si \(M=0,\) le vecteur \(a=\int_{\cal E}\vecteur{Am}\d\rho(m)\) ne dépend pas du point \(A,\) et \[f({\cal F}+x)=f(\F)-2(a\ps x).\]
3. Continuité L'application \(f\) est continue pour la topologie grassmannienne sur l'ensemble des sous-espaces affines de \(\E.\)

Inversement, oublions maintenant le système matériel pour ne conserver que sa trace inertielle sur les sous-espaces affines : on se donne une application \(f\) définie sur l'ensemble des sous-espaces affines de \(\E\) vérifiant les trois conditions ci-dessus. On montre qu'il existe alors un système matériel \(\S\) dont \(f\) représente les moments d'inertie. Ce résultat constitue en quelque sorte la version affine du théorème de Gleason.Andrew M. Gleason, Measures on the closed subspaces of a Hilbert space. J. math. Mech. 6. (1957), 885-893. On montre également que la condition (ii) est inutile, autrement dit : l'additivité perpendiculaire et la continuité entraînent le théorème de Huygens. D'autre part on peut toujours prendre pour \(\S\) un ensemble fini de masses ponctuelles, dont on peut exprimer le nombre minimal en termes géométriques.

Préliminaire : le cas vectoriel

Le lemme 1 ci-dessous permet de définir la forme quadratique d'inertie duale d'un système matériel en un point :

On a \(\displaystyle q(x)=||x||^2I_{\cal S}(O+x^\perp)\) \(\displaystyle=||x||^2\int_{\cal E}d(m,O+x^\perp)^2\d\rho(m) \) \(\displaystyle=\int_{\cal E}(\vecteur{Om}\ps x)^2\d\rho(m)\,,\) donc \(q\) est la forme quadratique provenant de la forme bilinéaire \(B\) définie par \[B(x,y)=\int_{\cal E}(\vecteur{Om}\ps x)(\vecteur{Om}\ps y)\d\rho(m)\,.\] En outre, pour \(F\) s.e.v. de \(E,\) en notant \((e_i)\) une base orthonormale de \(F^\perp,\) la propriété d'additivité perpendiculaire donne \(\displaystyle I_{\cal S}(O+F)=\sum_i I_{\cal S}(O+e_i^\perp)\) \(\displaystyle=\sum_i q(e_i)=\tr(q|_{F^\perp}).\)

Remarquons que toute forme quadratique \(q\) sur \(E\) provient de cette façon d'un système matériel. En effet, en considérant une base \((e_i)\) de \(E\) à la fois orthonormale et \(q\)-orthogonale, on a \(q(x)={\displaystyle\sum_i} q(e_i)(e_i\ps x)^2,\) de sorte qu'en prenant pour \(\S\) le système obtenu en plaçant en chaque point \(O+e_i\) une masse ponctuelle \(m_i\) égale à \(q(e_i),\) on a \(q(x)=||x||^2I_{\S}(O+x^\perp).\)

Le théorème de Gleason, dans le cas particulier d'un espace euclidien \(E,\) affirme que pour toute mesure \(\mu\) (fonction réelle définie sur l'ensemble des s.e.v. de \(E,\) orthogonalement additive) bornée, il existe une forme quadratique \(q\) telle que \(\mu(F)=\tr(q|_F).\) En passant à l'orthogonal on obtient :

1. a Comme pour le théorème de Gleason, pour \(E\) de dimension 2 le résultat tombe en défaut : étant donnée \((i,j)\) base orthonormale de \(E,\) posons \(u_\theta=(\cos\theta)\, i+(\sin\theta)\, j.\) Soit \(f\) une fonction \(\pi\)-périodique bornée sur \(\rmat\) telle que \(f(x+\pi/2)+f(x)\) soit égale à la constante \(\lambda.\) La fonction \(h\) définie par \(h(\rmat u_\theta)=f(\theta),\) \(h(\{0\})=\lambda,\) et \(h(E)=0,\) vérifie les hypothèses du théorème mais ne provient pas en général d'un système matériel.
2. b L'hypothèse \(h\) bornée est, elle aussi, essentielle, comme le montre l'exemple obtenu en considérant \(h:F\mapsto\varphi(I_{\cal S}(O+F)),\) où \(\cal S\) est constitué d'une seule masse ponctuelle non nulle placée ailleurs qu'en \(O\) et \(\varphi:\rmat\longrightarrow\rmat\) une application \(\qmat\)-linéaire non continue arbitraire.

Le cas affine : énoncé du résultat central

Soit \(h\) une application réelle définie sur l'ensemble des sous--espaces vectoriels (resp. affines) de \(E\) (resp. \(\cal E).\) Un sous-espace \(\cal F\) sera dit total pour \(h\) s'il vérifie les deux conditions suivantes :

1. Pour tout sous-espace \(\cal G\) contenant \(\cal F,\) \(h({\cal G})=0\,;\)
2. Pour tout sous-espace \(\cal G\) et toute isométrie vectorielle (resp. affine) \(\Phi\) fixant chaque point de \(\cal F,\) on a \(h(\Phi({\cal G}))= h({\cal G}).\)

On appellera rang de \(h,\) et on notera \(\rg(h),\) la plus petite dimension d'un sous-espace total pour \(h.\) On remarquera que si \(h\) a la propriété d'additivité perpendiculaire, alors l'espace entier est total pour \(h,\) de sorte que le rang de \(h\) est bien défini.

Dans le cas d'une application \(g\) définie sur l'ensemble des sous-espaces affines de \(\E,\) on notera pour simplifier \(g(M)\) au lieu de \(g(\{M\}),\) et l'application définie sur \(\cal E\) induite par \(g\) sera notée \(g_0.\) Pour \(A\in\cal E,\) on notera \(g^A\) la restriction de \(g\) à l'ensemble des sous-espaces affines passant par \(A.\)

La suite est dédiée à la démonstration du résultat suivant.

Il résultera de la démonstration, ainsi que du théorème de Huygens, que les quatre cas suivants, correspondant à quatre types de systèmes, décrivent toutes les situations possibles :

1. a \(g_0(O+x)=g_0(O)+M||x||^2\) \((M\neq0)\) : système de masse totale \(M\neq0\,;\)
2. b \(g_0(O+x)=(a\ps x)\) \((a\neq 0)\) : système tel que \(M=0\) et \(a=-2\int_{\cal E}\vecteur{Am}\d\rho(m)\neq0.\) C'est le cas, par exemple, d'un système de deux masses non nulles opposées placées en deux point distincts, ou bien de deux masses de valeur \(1\) et une masse de valeur \(-2,\) non placée au milieu ;
3. c Cas trivial \(g=0.\) Il suffit pour cela (voir lemme 3) que \(g_0\) soit constante et qu'il existe \(A\in{\cal E}\) tel que \(g^A=0.\) C'est le cas d'un système vérifiant \(M=0,\) \(a=0,\) et moments d'inertie nuls par rapport aux sous-espaces passant par un point donné. Dans ce cas le système \(\S\) se comporte comme un système vide. C'est par exemple le cas du système de six masses valant 1, -2, 1, 1, -2, 1, placées sur une droite aux abscisses -7, -5, -1, 1, 5, 7, qui n'a donc aucune inertie.
4. d \(g_0\) constante mais \(g\neq0\) : système vérifiant \(M=0,\) \(a=0,\) et au moins un moment d'inertie non nul. Par exemple, le système \(\cal S\) constitué de \(2n+1\) masses ponctuelles obtenu en plaçant, en chaque point \(O\pm e_i\) (\(\!O\in\cal E,\) \((e_i)\) base orthonormale de \({\cal E}\hbox{),}\) une masse de valeur \(1/2,\) et en \(O\) une masse de valeur \(-n,\) vérifie \(I_{\cal S}({\cal F})=\codim\ {\cal F}\) et se réduit, en vertu du théorème, à \(n+2\) masses (dont \(n+1\) sont placées, pour des raisons de symétrie, aux sommets d'un simplexe régulier).

Il résultera également de la démonstration que dans le cas où \(g\) est positive (ce qui ne peut arriver que dans les cas a, c, d) toutes les masses, sauf une dans le cas d, peuvent être prises positives.

Quelques lemmes utiles

On a \[g({\cal F}+\rmat x)+g({\cal H})=g({\cal F}),\] puisque \({\cal F}+\rmat x\) et \(\cal H\) sont perpendiculaires d'intersection \(\cal F.\) On en déduit \(\displaystyle g({\cal F})-g({\cal H})=g({\cal F}+\rmat x)=g({\cal F}+x+\rmat x)\) \(\displaystyle =g({\cal F}+x)-g({\cal H}+x),\) et le résultat s'obtient remplaçant \(\cal F\) par \(\cal G\) dans la relation précédente et en soustrayant.

Quitte à considérer \(X/\ker Q,\) on peut se placer dans le cas \(Q\) non dégénérée, \(u\neq 0.\) On commence par exhiber une base \(Q\)-orthogonale \((\eta_i)\) telle que \[\sum Q(\eta_i)=Q(u).\] Pour cela, soit \((\xi_i)\) une base \(Q\)-orthogonale arbitraire. Si \(u\) est isotrope, la forme \(Q\) n'étant pas dégénérée \(\exists i,j,\> Q(\xi_i)Q(\xi_j)<0,\) et on peut toujours multiplier \(\xi_i\) ou \(\xi_j\) par un réel \(\lambda>0\) de sorte à obtenir une base \((\eta_i)\) vérifiant \(\sum Q(\eta_i)=0=Q(u).\) Sinon, on peut supposer \(Q(u)>0,\) et alors \(I=\{i\ps Q(\xi_i)>0\}\neq\vide.\) Définissons \((\eta_i)\) par \(\eta_i=\lambda\xi_i\) si \(i\in I,\) et \(\eta_i=\xi_i\) sinon. Alors \(\sum Q(\eta_i)=Q(u)\) s'écrit \(\lambda^2 \sum_{i\in I} Q(\xi_i)+\sum_{i\notin I} Q(\xi_i)=Q(u),\) équation qui admet une solution \(\lambda\neq0.\)

On termine en utilisant le théorème de Witt : si \(Q(u)=Q(v)\) il existe une \(Q\)-isométrie \(\phi\) de \(X\) telle que \(u=\phi(v).\) Il suffit de l'appliquer à \(v=\sum\eta_i\) et de prendre \(\varepsilon_i=\phi(\eta_i).\)

Il s'agit d'un exercice très classique de premier cycle universitaire avec hypothèse de continuité,Voir par exemple :
• Revue des mathématiques de l'enseignement supérieur (RMS), 3-4 (2000). Réponse R364 de H. Pépin p. 530-533.
• S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices de mathématiques Oraux X-ENS : Algèbre 3, ex. 16. Cassini, Paris (2008). la solution s'étendant facilement au cas qui nous intéresse d'une fonction bornée au voisinage de \(0.\)

Démonstration du résultat central

Venons-en à la démonstration du théorème 2. Tout d'abord les conditions indiquées sont clairement nécessaires. De plus le nombre de masses annoncé ne peut être amélioré : un système \(\cal S\) de \(k\) masses \((k\geq 1)\) engendre un sous-espace affine de dimension au plus \(k-1,\) total pour \(g=I_{\cal S},\) ce qui donne \(k\geq \rg(g)+1.\) Si, de plus, \(g_0\) est constante et \(g\) non identiquement nulle, alors la masse totale est nulle et l'une des masses est non nulle, et le cas b) du théorème de Huygens montre alors que les places des masses ponctuelles sont affinement dépendantes, d'où \(k\geq \rg(g)+2.\)

Inversement, soit \(g\) vérifiant (i), (ii) et (iii). Soit \(A\in\cal E\) au voisinage duquel \(g_0\) est bornée et posons, pour \(x\in E,\) \(\phi(x)=g(A+x)-g(A).\) Pour \(x,y\in E,\) d'après le lemme 3 on a alors, dès que \(x\perp y,\) \(\phi(x)+\phi(y)=\phi(x+y).\) Or \(\phi\) est bornée au voisinage de \(0\) puisque \(g_0\) l'est au voisinage de \(A.\) D'après le lemme 5 il existe alors \((M,a)\in\rmat\times E\) tel que \[\forall x\in E,\ g(A+x)-g(A)=\phi(x)=M||x||^2+(a\ps x).\] L'application \(g_0\) est donc une forme quadratique affine, et \(\displaystyle \forall P\in{\cal E}\,,\quad\exists b\in E\,,\quad \forall x\in E,\quad\) \[\kern-1.5em g(P+x)-g(P)=M||x||^2+(b\ps x)\,.\tag{1}\] Soit \({\cal F}_0\) un sous-espace total pour \(g\) de dimension minimale, égale à \(\rg(g),\) et \(F_0\) sa direction.

1^er cas : \(g_0\) n'est pas une forme affine. Quitte à changer \(g\) en \(-g,\) on peut supposer \(M>0.\) L'application \(g\) atteint alors un minimum global, en un point, que l'on notera \(O,\) vérifiant \[\kern-1.5em \forall x\in E,\> g(O+x)-g(O)=M||x||^2\,.\tag{2}\] Soit \(B\in{\cal E}\) tel que \(g^B\) soit bornée. En appliquant la relation \((1)\) au point \(B\) et en utilisant le lemme 3, \(g^P\) est bornée pour tout point \(P.\) En particulier, \(g^O\) est bornée. D'après le théorème 1, il existe une forme quadratique \(q\) et un système matériel \(\cal S\) tels que pour tout sous-espace vectoriel \(F,\) \(g({O+F})=\tr(q|_{F^\perp})=I_{\cal S}(O+F).\) D'après la relation \((2)\), le lemme 3, et le théorème de Huygens, il reste à voir que l'on peut imposer que la masse du système soit \(M\) et que son centre d'inertie soit en \(O,\) tout en conservant les moments d'inertie par rapport aux sous-espaces passant par \(O,\) en utilisant seulement \(\rg (g)+1\) masses ponctuelles. Pour cela, considérons la forme quadratique \(Q\) définie sur \(E\times \rmat\) par \(Q(x,t)=q(x)+M\,t^2.\) Le vecteur \(u=(0,1)\) n'est pas dans \(\ker Q\) puisque \(Q(u)=M>0.\) D'après le lemme 4, il existe une base \(Q\)-orthogonale \((\varepsilon_i)\) telle que \(u=\sum \varepsilon_i,\) c'est-à-dire \(\varepsilon_i^*(u)=1.\) Or, chaque forme linéaire \(\varepsilon_i^*\) est de la forme \(\varepsilon_i^*(x,t)=(a_i\ps x)+\lambda_it,\) où \((a_i,\lambda_i)\in E\times \rmat.\) Alors \(\varepsilon_i^*(u)=1\) s'écrit \(\lambda_i=1,\) d'où, pour tout \((x,t)\in E\times \rmat,\) \(\displaystyle q(x)+M\,t^2=Q(x,t)\) \(\displaystyle=\sum_{i=1}^{n+1}Q(\varepsilon_i) (\varepsilon_i^*)^2(x,t)\) \(\displaystyle=\sum_{i=1}^{n+1}Q(\varepsilon_i) ((a_i\ps x)+t)^2\,.\) En posant \(m_i=Q(\varepsilon_i)\) et en développant le carré, un argument immédiat permet d'identifier et d'écrire : \(\displaystyle a)\>q(x)=\sum m_i(a_i\ps x)^2\ ; \) \(\qquad\displaystyle b)\> \sum m_ia_i=0\ ;\) \(\displaystyle\qquad c)\> \sum m_i=M.\) Il suffit alors de considérer le système \(\cal S',\) obtenu en plaçant, pour chaque \(i\) tel que \(m_i\neq0,\) la masse \(m_i\) en \(O+a_i.\) En utilisant la relation \((2)\) et le fait que \({\cal F}_0\) est total, ce dernier contient \(O\) (considérer le symétrique orthogonal de \(O\) par rapport à \({\cal F}_0),\) et sa direction \(F_0\) est alors totale pour \(F\mapsto g(O+F).\) D'après le lemme 2 \((\ker q)^\perp\subset F_0,\) et le nombre de masses ponctuelles utilisées est alors \(\displaystyle r=\rg (Q)=\rg (q)+1\) \(\displaystyle\leq(\dim{\cal F}_0)+1=\rg (g)+1.\)
2^e cas : \(g_0\) est une forme affine. Cette fois il existe \(a\in E\) tel que pour tout \(P\in{\cal E}\) et \(x\in{E}\) on ait \[ g(P+x)-g(P)=(a\ps x)\,.\tag{3}\]

• Si \(a≠0,\) on se place en un point \(O\in{\cal F}_0\) pour l'instant arbitraire, et l'on pose \(Q(x,t)=q(x)-2(a\ps x)\,t.\) Alors \((0,1)\) n'est toujours pas dans \(\ker Q\) car \(a\neq 0.\) On obtient cette fois : \(\displaystyle a)\>q(x)=\sum m_i(a_i\ps x)^2\ ; \) \(\qquad\displaystyle b)\> \sum m_ia_i=-a\ ;\) \(\displaystyle\qquad c)\> \sum m_i=0,\) et c'est le cas b) du théorème de Huygens qui permet alors de conclure. Pour le nombre de masses utilisées, a priori, \(\rg (Q)\leq\rg (q)+2.\) Mais en notant \(q_O\) la forme quadratique associée à \(g\) au point \(O,\) la relation \((3)\), l'égalité \(q_O(x)=||x||^2g(O+x^\perp)\) et le lemme 3 donnent, pour \(b\in E,\) \[\kern-1.5em q_{O+b}(x)=q_O(x)+(a\ps x)(b\ps x)\,.\tag{4}\] Il suffit alors de choisir \(O\in{\cal F}_0\) en lequel \(q=q_O\) soit de rang maximal. Alors \(a\in(\ker q)^\perp,\) car sinon, en remplaçant \(O\) par \(O+a\) \(({\cal F}_0\) étant total on voit facilement, en utilisant la relation \((3)\), que \(a\in F_0),\) le rang de \(q\) augmenterait, puisque d'après \((4)\) on a \(q_{O+a}(x)=q_O(x)+(a\ps x)^2\,.\) Or \(a\in(\ker q)^\perp\) donne \(\rg (Q)\leq\rg (q)+1,\) et l'on conclut comme précédemment.
• Si \(a=0,\) c'est-à-dire \(g_0\) constante, on se ramène au 1^er cas en rajoutant le moment d'inertie d'une masse ponctuelle non nulle placée n'importe où dans \({\cal F}_{0}\mskip 1mu,\) qui reste alors total, et l'on récupère l'application \(g\) initiale en rajoutant au système obtenu la masse opposée, ce qui donne au plus \(\rg (g)+2\) masses ponctuelles.