Deux théorèmes d'effacement

Combien d'entre nous seraient prêts à parier que dans un e.v.n. le complémentaire d'un singleton puisse être homéomorphe à l'espace entier ? Et pourtant… En dimension infinie c'est toujours le cas !
❯

Semi-simplicité abstraite

En algèbre linéaire la semi-simplicité apparaît dans différents contextes qui sont tous des cas particuliers de la notion de module semi-simple, qui peut se voir comme généralisant les résultats élémentaires sur les sommes directes de sous-espaces vectoriels. Mais en y regardant de plus près on se rend compte que la totalité de la théorie n'utilise même pas la structure de module, mais seulement les propriétés de la relation d'inclusion entre sous-modules. Les notions et résultats qui se rapportent à la semi-simplicité (somme directe, semi-simplicité, simplicité, composantes isotypiques, multiplicité) survivent dans un cadre abstrait où les sous-modules sont remplacés par les points d'un treillis muni des axiomes adéquats, qu'on appellera un treillis complètement modulaire, généralisant la structure d'un treillis de sous-modules.
❯

Le théorème de représentation de Stone

On appelle généralement théorème de représentation de Stone le résultat bien connu suivant :

Toute algèbre de Boole est isomorphe à celle des parties à la fois ouvertes et fermées d'un espace topologique, que l'on peut choisir compact et totalement discontinu, et dans ce cas ce dernier est unique à homéomorphisme près.

Mais il s'agit seulement d'un cas particulier de l'énoncé de Stone. Ce dernier, qui traite le cas d'un treillis distributif arbitraire, est l'illustration des idées réellement novatrices que l'on doit à Stone, parmi lesquelles celle, fondamentale, de considérer (avant Zariski) les idéaux premiers comme des points, et l'obtention d'un véritable résultat de dualité plusieurs années avant la formulation de l'équivalence de catégories par Eilenberg et Mac Lane.
❯

Caractérisation des moments d'inertie d'un système matériel

Dans un espace affine euclidien \(\E\) de dimension \(n≥3,\) considérons un système matériel \(\S.\) Disons qu'il est défini par la donnée d'une mesure réelle \(\rho\) sur la tribu de Lebesgue de \(\E,\) à support compact pour éviter les problèmes de convergencesans grand intérêt ici ; on s'intéresse essentiellement aux aspects algébriques.. On peut considérer pour chaque sous-espace affine \(\F\) de \(\E\) le moment d'inertie \(I_{\S}(\F)\) de \(\S\) par rapport au sous-espace affine \(\F.\) L'application \(f:\F\mapsto I_{\S}(\F)\) vérifie les trois propriétés suivantes :

1. Additivité perpendiculaire ;
2. Théorème de Huygens ;
3. Continuité pour la topologie grassmannienne.

Inversement, oublions maintenant le système matériel pour ne conserver que sa  trace inertielle  sur les sous-espaces affines : on se donne une application \(f\) définie sur l'ensemble des sous-espaces affines de \(\E\) vérifiant les trois conditions ci-dessus. On montre qu'il existe alors un système matériel \(\S\) dont \(f\) représente les moments d'inertie. Ce résultat constitue en quelque sorte la version affine du théorème de GleasonAndrew M. Gleason, Measures on the closed subspaces of a Hilbert space. J. math. Mech. 6. (1957), 885-893.. On montre également que la condition (ii) est inutile, autrement dit : l'additivité perpendiculaire et la continuité entraînent le théorème de Huygens.
❯

01 août 2023 : Naissance de ce blog

C'est parti, j'ai décidé de basculer mon ancien site vers un vrai blog. Je dispose maintenant du minimum vital pour écrire des mathématiques en ligne et occuper utilement ma retraite prochaine.
❯