Deux théorèmes d'effacement

Introduction

Le corps de base est \(\rmat\) pour tous les espaces vectoriels considérés.\[ \]

Combien d'entre nous seraient prêts à parier que dans un e.v.n. le complémentaire d'un singleton puisse être homéomorphe à l'espace entier ? Et pourtant… En dimension infinie c'est toujours le cas ! C'est un cas particulier du théorème 2 ci-dessous. De nombreux autres résultats tout aussi surprenants ont fleuri dans les années 50 et 60, portant sur la géométrie des e.v.n. et en particulier sur les propriétés d'effacement (on dit qu'une partie \(A\) d'un espace topologique \(E\) est effaçable si \(E\setminus A\) est homéomorphe à \(E).\)

On présente ici les preuves des deux résultats suivants, dus à Klee et Bessaga (voir ).

Il en résulte que dans un e.v.n. non complet (resp. de dimension infinie), le complémentaire de toute partie complète (resp. compacte) est connexe par arcs, ce qui n'avait rien d'évident a priori.

Préliminaires 1

Soit \((E,d)\) un espace métrique. On rappelle qu'une application \(f:E\fl E\) est \(k\)-contractante si \(f\) est \(k\)-lipschitzienne et \(k\in[0,1[.\)

Dans ce cas, si \(E\) est complet, alors \(f\) admet un unique point fixe théorème de Banach-Picard.

Si, de plus, \(E\) est un espace vectoriel normé (et donc un espace de Banach), alors l'application \(g:x\mapsto x+f(x)\) est un homéomorphisme de \(E\) sur lui-même. En effet, d'une part, la condition \(g(x)=y\) équivaut à \(x\) est un point fixe de \(g_y\), où l'application \(g_y:x\mapsto y-f(x)\) est, comme \(f,\) \(k\)-contractante, ce qui prouve la bijectivité de \(g.\) D'autre part l'application \(g\) est continue, et si \(x=g^{-1}(y)\) et \(x'=g^{-1}(y')\) alors \(x=y-f(x)\) et \(x'=y'-f(x'),\) d'où \(\displaystyle||x-x'||≤||y-y'||+||f(x)-f(x')||\)\(\displaystyle≤||y-y'||+k||x-x'||,\) et donc \(||x-x'||≤{1\over 1-k}||y-y'||,\) ce qui prouveOn aurait pu aussi utiliser le résultat plus général du point fixe de Banach-Picard avec paramètre. Voir par exemple : Ramis E., Deschamps C., Odoux J., Cours de Mathématiques Spéciales, 3 Topologie et éléments d'analyse, Paris : Masson 1976. la continuité de \(g^{-1}.\)

Remarquons finalement que dans ce cas, en remplaçant \(x\) par \(g^{-1}(x)\) dans la relation \(g(x)=x+f(x),\) on obtient \(x=g^{-1}(x)+f(g^{-1}(x)),\) ou encore \[g^{-1}(x)=x-f(g^{-1}(x))\,,\] égalité qui servira à la toute fin de cet article.

Démonstration du théorème 1

\(E\) désigne donc un e.v.n. non complet et \(A\) une partie complète de \(E.\) Soit \(E'\) le complété de \(E,\) et \(a\in E'\setminus E\) tel que \(||a||<1,\) fixé une fois pour toutes. On va montrer l'existence d'une application \(f:E'\fl E'\) vérifiant les conditions suivantes:

1. \(f\) est contractante ;
2. \(f(A)=\{a\}\) ;
3. \(f(E'\setminus A)\subset E\) ;
4. \(\forall x\in E'\,,d(x,A)≥1\impl f(x)=0_E.\)

Il suffira alors de prendre comme homéomorphisme d'effacement l'application de \(E\setminus A\) dans \(E,\) induite par l'application \(h\) définie sur \(E'\) par \(h(x)=x+f(x).\) En effet, la condition (i) assure que \(h\) est un homéomorphisme de \(E'\) sur lui-même (voir préliminaires), et (ii) et (iii) entraînent que l'on a, pour tout \(x\in E':\) \(h(x)\in E\ssi x\in E\setminus A.\)

Pour obtenir une telle contraction \(f,\) il suffit de construire un arc paramétré \(\gamma:\rmat^+\fl E',\) contractant, tel que \(\displaystyle\gamma(0)=a\,;\quad\)\(\quad\displaystyle \gamma(\rmat^{+*})\subset E\,;\quad\)\(\quad\displaystyle \forall t≥1\,,\>\gamma(t)=0_E\,.\) En effet, en posant \(f(x)=\gamma(d(x,A))\) les conditions (i) à (iv) sont alors vérifiées : la condition (i) résulte alors du caractère contractant de \(\gamma\) et du fait que \(x\mapsto d(x,A)\) est 1-lipschitzienne ; les conditions (ii) et (iv) sont évidentes ; la condition (iii) provient de la complétude de \(A\) : l'ensemble \(A\) est alors fermé dans \(E',\) puisqu'il est complet ; il en résulte que si \(x\in E'\setminus A\) alors \(d(x,A)>0,\) et donc \(f(x)=\gamma(d(x,A))\in E.\)

Passons à la construction de \(\gamma\) : Soit \(r\) un réel tel que \(0\lt r\lt 1.\) Puisque \(E\) est dense dans son complété \(E',\) il existe une suite \((x_n)\) de points de \(E\) telle \[\forall n\in\nmat\,,\quad||x_n-a||≤r^n||a||\,;\qquad x_0=0_E\,,\] et il est clair qu'on peut facilement construire une telle suite \((x_n)\) de telle sorte qu'elle soit injective.

On a, par inégalité triangulaire : \(\forall n\in\nmat\,,\>||x_{n+1}-x_n||≤(r+1)r^n||a||.\) On en déduit que la série \(\sum||x_{n+1}-x_n||\) converge, et que sa somme est inférieure à \({r+1\over 1-r}||a||.\) Cette quantité tendant vers \(||a||<1\) lorsque \(r\tv0,\) on peut choisir \(r\) tel qu'on ait \[S=\sum_{n=0}^\pinfty||x_{n+1}-x_n||<1\,.\]

Soit \((t_n)\) la suite définie par récurrence par \[t_0=1\,;\qquad \forall n\in\nmat\,,\quad t_{n+1}=t_n-{1\over S}||x_{n+1}-x_n||\,.\tag{1}\] La suite \((t_n)\) est strictement décroisssante, et de limite nulle puisque \(\displaystyle t_n=1+\sum_{k=0}^{n-1}(t_{k+1}-t_k)\)\(\displaystyle =1-{1\over S}\sum_{k=0}^{n-1}||x_{k+1}-x_k||\)\(\displaystyle ={1\over S}\sum_{k=n}^{\infty}||x_{k+1}-x_k||\tv0\,.\) L'arc \(\gamma\) est défini par \(\quad\displaystyle\gamma(0)=a\,;\quad\)\(\quad\displaystyle\gamma(t_n)=x_n\,;\quad\)\(\quad \displaystyle\gamma\hbox{ est affine sur }[t_{n+1},t_n]\,;\quad\)\(\quad\displaystyle\forall t≥1\,,\>\gamma(t)=0_E\,.\quad\) La restriction de \(\gamma\) à \([t_{n+1},t_n]\) est affine de dérivée \((x_{n}-x_{n+1})/(t_{n}-t_{n+1}),\) de norme égale à \(S\) d'après \((1).\) Or \(S\lt 1,\) d'où la contractance de \(\gamma\) sur chaque segment \([t_{n+1},t_n],\) et donc sur \(]0,1]\) par inégalité triangulaire, puis sur \([0,1]\) par continuité, et donc finalement sur \(\rmat^+\) tout entier, ce qui achève la démonstration.

Préliminaires 2

On rappelle les trois résultats suivants classiques.

Jauge de Minkowski Soit \(E\) un espace vectoriel non nul. On dira qu'un ensemble \(C\subset E\) est admissible s'il est convexe, non vide, symétrique par rapport à \(0_E,\) tel que pour toute droite vectorielle \(D,\) on ait: \(C\inter D≠\{0_E\}\) et \(D\not\subset C.\) Dans ce cas, l'application \[j_C:x\mapsto \inf\{\lambda\in\rmat^{+*}\tq x\in\lambda C\}\] est bien définie, et \(j_C\) est une norme sur \(E,\) appelée la jauge de \(C.\)

Théorème de Banach Toute bijection linéaire continue entre deux espaces de Banach est bicontinue.

Théorème de Banach-Mazur Tout e.v.n. séparable (i.e. admettant une partie au plus dénombrable dense) est isomorphe (en tant qu'e.v.n.) à un sous-espace de \(C^0([0,1])\) (muni de la norme infinie).

Démonstration du théorème 2

On aura besoin de quelques résultats préliminaires.

Soit \(C\) l'enveloppe convexe de \(B_1\union B_2,\) où \[B_1=\{x\in E\tq ||x||≤1/k\}\,;\qquad B_2=\{x\in F\tq N(x)≤1\}.\]

1. a Considérons l'application \(x\mapsto d(x,F)\) (au sens de la norme initiale \(||\cdot||).\) Elle vérifie l'inégalité triangulaire (facile) et elle est positivement homogène. Elle est nulle sur \(B_2,\) et sur \(B_1\) elle est majorée par \(x\mapsto d(x,0_E)=||x||≤1/k.\) Elle est donc bornée par \(1/k\) sur \(C.\)
2. b On en déduit que l'ensemble \(C\) est admissible (voir préliminaires). La seule condition qui n'est pas totalement triviale à vérifier est le fait que \(C\) ne contienne aucune droite (l'ensemble \(B_2,\) et donc aussi \(C,\) n'est en général pas borné pour \(||\cdot||).\) Supposons par l'absurde qu'une droite \(D\) vérifie \(D\subset C.\) D'après a) l'application \(x\mapsto d(x,F)\) est donc bornée sur \(D\) et positivement homogène. On en déduit qu'elle est nulle sur \(D,\) et donc \(D\subset F\) puisque \(F\) est fermé. Mais la trace de \(C\) sur \(F\) est clairement égale à \(B_2,\) qui est une boule pour une norme donc ne peut contenir de droite.
3. c L'ensemble \(C\) étant donc admissible on en déduit que \(N'=j_C\) est une norme sur \(E\) (voir préliminaires). On a clairement \(N'\restr{F}=N,\) puisque \(B_1\subset B_2,\) et puisque \(B_1\subset C\) on a bien \(N'(x)=j_C(x)≤k||x||\) pour tout \(x\in E.\) La norme \(N'\) vérifie donc les propriétés (i) et (ii).
4. d Il reste à montrer que \(F\) est fermé dans \((E,N').\) D'après a) on a par homogénéité : pour tout point \(x\in E,\) \(d(x,F)≤N'(x)/k.\) Soit \((x_n)\) une suite de points de \(F\) convergeant pour \(N'\) vers un point \(a\in E.\) On a \[d(a,F)=d(x_n-a,F)≤N'(x_n-a)/k\tv0\,,\] c'est-à-dire \(d(a,F)=0,\) et donc \(a\in F\) puisque \(F\) est fermé pour \(||\cdot||.\)

Si \((E,||\cdot||)\) n'est déjà pas complet il n'y a rien à faire : il suffit de prendre \(N=||\cdot||.\) On supposera donc que \(E\) est un espace de Banach.

1^er cas : \(E\) est séparable. D'après le théorème de Banach-Mazur on peut supposer que \(E\) est un sous-espace de \(C^0([0,1]),\) et que \(||\cdot||=||\cdot||_\infty.\) Prenons \(N=||\cdot||_2.\) On a bien \(N≤||\cdot||.\) Il reste à prouver que \((E,N)\) n'est pas complet.

Supposons par l'absurde que \((E,N)\) soit complet. Alors l'identité étant continue de \((E,||\cdot||)\) vers \((E,N),\) et les deux étant des espaces de Banach par hypothèse, d'après le théorème de Banach l'identité est bicontinue et il existe donc une constante \(C>0\) telle que \[\forall f\in E\,,\>||f||_\infty≤C||f||_2.\]

Mais une telle inégalité ne peut se produire que si \(E\) est de dimension finie, ce qui contredit les hypothèses. L'argument est classique : si \(E\) est de dimension au moins \(k\) il existe une famille orthonormale \((f_1,\ldots,f_k)\) de \(E\) muni du produit scalaire usuel de \(C^0([0,1]).\) Soit \(t\in[0,1]\) et \(f=\sum_{i=1}^kf_i(t)f_i.\) On a : \[\sum_{i=1}^kf_i^2(t)=f(t)≤||f||_\infty≤C||f||_2=C\sqrt{\sum_{i=1}^kf_i^2(t)}\,,\] d'où \(\sum_{i=1}^kf_i^2(t)≤C^2.\) En intégrant cette inégalité pour \(t\) variant de \(0\) à \(1\) on obtient : \(k≤C^2.\)

2^e cas : cas général. Puisque \(E\) est de dimension infinie il existe une famille \((e_n)_{n\in\nmat}\) algébriquement libre. Posons \(F=\overline{\vect((e_n)_{n\in\nmat})}.\) Le s.e.v. \(F\) étant séparable, d'après le premier cas il existe une norme \(N\) sur \(F\) telle que \(\forall x\in F\,,\>N(x)≤||x||,\) et \((F,N)\) n'est pas complet. D'après le lemme 1, \(N\) est prolongeable en une norme \(N'≤||\cdot||\) sur \(E\) pour laquelle \(F\) est fermé. Puisque ce dernier n'est pas complet on en déduit donc que \((E,N')\) n'est pas complet.

Soit \(K\) un compact d'un e.v.n. \((E,||\cdot||)\) de dimension infinie. D'après le lemme 2, il existe une norme \(N≤||\cdot||\) sur \(E\) telle que \((E,N)\) ne soit pas complet. L'application \(\id:(E,||\cdot||)\fl(E,N)\) est alors continue donc \(K\) reste compact pour \(N,\) donc complet. D'après le théorème 1, il existe un homéomorphisme \(h\) de \(E\setminus K\) sur \(E.\)

Il faut cependant se garder de conclure trop vite, puisque cet homéomorphisme est relatif à la topologie induite par \(N\) (au départ et à l'arrivée). Pour la norme initiale \(||\cdot||,\) ni la continuité de \(h\) ni celle de \(h^{-1}\) ne vont de soi.

Reprenons la construction de \(h\) donnée par démonstration du théorème 1. L'application \(h\) est définie par \(h(x)=x+\gamma(d(x,K)),\) où la distance \(d\) et l'arc \(\gamma\) sont définis à partir de la norme \(N.\) L'arc \(\gamma\) est contractant pour cette norme, ce qui assure la bijectivité de \(h.\)

L'argument clé est que sur \(E\setminus K,\) \(x\mapsto d(x,K)\) est à valeurs dans \(]0,1],\) intervalle sur lequel l'arc paramétré \(\gamma,\) affine sur chaque intervalle \([t_{n+1},t_n],\) est continu pour n'importe quelle norme (et même pour n'importe quelle structure d'e.v.t.) sur \(E.\)

L'application \(x\mapsto\gamma(d(x,K))\) est alors continue sur \(E\setminus K\) comme composée de \(\displaystyle(E\setminus K,\>||\cdot||){\buildrel\id_E\over{\quad\longrightarrow\quad}}(E\setminus K,\>N)\)\(\displaystyle{\buildrel \quad x\,\mapsto\, d(x,K)\quad\over\longrightarrow}\rmat {\buildrel\gamma\over{\quad\longrightarrow\quad}}(E,\>||\cdot||)\,,\) d'où la continuité de \(h:(E\setminus K,||\cdot||)\fl(E,||\cdot||).\)

Enfin, l'application \(h^{-1}\) vérifie \(h^{-1}(x)=x-\gamma(d(h^{-1}(x)))\) (voir ). Sa continuité s'obtient par composition du diagramme suivant, où chaque application est continue \(\displaystyle(E,||\cdot||){\buildrel\id_E\over{\quad\longrightarrow\quad}}(E,N){\buildrel h^{-1}\over{\quad\longrightarrow\quad}}(E\setminus K,N)\)\(\displaystyle{\buildrel \quad x\,\mapsto\, d(x,K)\quad\over\longrightarrow}\rmat {\buildrel\gamma\over{\quad\longrightarrow\quad}}(E,||\cdot||)\,,\) ce qui achève la démonstration.

Sources et compléments

Le théorème 2 est dû à KleeKlee V. L., A Note on Topological Properties of Normed Linear Spaces, Proceedings of the American Mathematical Society Vol. 7, No. 4 (1956), p. 673-674. mais les preuves présentées ici, et en particulier la technique de la norme non-complète, sont essentiellement dues à Bessaga. Je me suis inspiré pour cet article du livre de Bessaga et PelczyńskiBessaga C. et Pelczyński A., Selected topics in infinite-dimensional topology, Warszawa : Monografie Matematyczne 1975.. Ce dernier est d'une rédaction plutôt elliptique et il m'a fallu pas mal de temps pour me persuader que les arguments employés étaient corrects. J'en ai d'ailleurs profité pour simplifier légèrement la preuve du lemme 2 par l'usage du théorème de Banach-Mazur et d'un argument élémentaire et classique intervenant dans un théorème de Grothendieck bien connu des préparationnaires à l'agrégation, et déjà tombé en exercice d'oral des concours des grandes écoles : tout s.e.v. de \(C^0([0,1])\) sur lequel la norme 2 est plus fine que la norme infinie est de dimension finie.

D'autres résultats tout aussi étonnants datent de la même époque. Par exemple : la boule unité fermée d'un e.v.n. de dimension infinie est effaçable ; la sphère unité d'un espace de Hilbert de dimension infinie est homéomorphe (Klee)Klee V. L., Convex bodies and periodic homemorphisms in Hilbert space, Trans. Amer. Math. Soc. vol. 74 (1953) p. 10-43. à l'espace entier, et même \(C^\infty\)-difféomorphe (Bessaga)Bessaga C., Every infinite-dimensional Hilbert Space is diffeomorphic with its unit sphere, Bull. Acad. Polon. Sci., Sér. sci. math. astr. et phys. 14 (1966), p. 27-31. et même isomorphe au sens \(\rmat\)-analytique (Dobrowolski).Dobrowolski T., Every Infinite-Dimensional Hilbert Space is Real-Analytically Isomorphic with Its Unit Sphere, Journal of Functional Analysis, 134-2 (1995), p. 350-362. Des extensions partielles aux e.v.t. ont également été obtenues.Voir par exemple : Anderson R.D., On a theorem of Klee, Proceedings of the American Mathematical Society Vol. 17, No. 7 (1966), p. 1401-1404.