\( \newcommand{\ortho}{\perp} \newcommand{\GL}{\mathop{\rm GL}\nolimits} \newcommand{\id}{\mathop{\rm id}\nolimits} \newcommand{\fl}{\rightarrow} \newcommand{\tq}{\>|\>} % l'ensemble des x tels que... \newcommand{\ps}{\>|\>} \newcommand{\Union}{\mathop{\bigcup}\limits} \newcommand{\Inter}{\mathop{\bigcap}\limits} \newcommand{\Vide}{\varnothing} \def\dsum{\mathop{\raise-2pt\Large\hbox{\(\Sigma\)}\,}\limits} \def\D{{\cal D}} \def\P{{\cal P}} \def\S{{\cal S}} \def\implique{\Longrightarrow} \def\inter{\mathrel{\cap}} \def\union{\mathrel{\cup}} \def\ssi{\mathrel{\Longleftrightarrow}} \)

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toggle_fullscreen Projections d'un polyèdre régulier

Paul Barbaroux 01 août 2025

Introduction

Dans ce billet on s'intéresse à l'exercice suivant. Exercice que le lecteur est invité à chercher avant de lire plus loin ! La résolution doit se faire si possible sans calcul.

— Dans l'espace usuel de dimension \(3\), on considère un polyèdre régulier, ainsi qu'un plan \(\P.\) On note \(S\) la somme des carrés des longueurs des arêtes du polyèdre, et \(S_{\P}\) la somme des carrés des longueurs des projections orthogonales des arêtes sur \(\P\). Montrer que \(S_\P/S=2/3\) (et par conséquent ne dépend pas de \(\P\)). Généraliser.

Avant d'en donner une solution, commençons par un énoncé plus simple qui va aider à comprendre l'idée principale : la sphéricité d'un ellipsoïde d'inertie est en quelque sorte la forme géométrique du lemme de Schur.

— Dans l'espace usuel de dimension \(3\), soit \(\S\) l'ensemble des sommets d'un polyèdre régulier, et \(\D\) une droite passant par le centre du polyèdre. Montrer sans calcul que la somme \(\dsum_{s\in \S}d(s,\D)^2\) ne dépend pas de \(\D\).

Un physicien donnerait une solution immédiate de l'ex. 2 consistant à remarquer que \(\sum_{s\in \S}d(s,\D)^{2}\) est le moment d'inertie de \(\S\) par rapport à \(\D\) (après avoir affecté à chaque sommet une masse ponctuelle égale à 1), et que l'ellispoïde d'inertie est une sphère par raison de symétrie. On va tout d'abord formaliser ce dernier argument correctement, c'est-à-dire de façon intrinsèque (sans utilisation de coordonnées).

On remplacera les points par des vecteurs en vectorialisant au centre du polyèdre. Dans la suite \(E\) désigne donc un espace vectoriel euclidien de dimension \(n≠0\). Le produit scalaire est noté \((\cdot\ps \cdot)\). Étant donné un s.e.v. \(F\), \(p_F\) désigne le projecteur orthogonal sur \(F\). Étant donné un ensemble \(A\subset E\), on dit qu'une isométrie \(g\) est une isométrie de \(A\) si l'ensemble \(A\) est globalement invariant par \(g\). L'ensemble des isométries de \(A\) est un sous-groupe de \(O(E)\).

Tout d'abord l'argument de symétrie repose sur le fait qu'aucune direction n'est privilégiée, ce qui se traduit par la définition suivante : on dira qu'un ensemble de vecteurs \(A\) d'un espace euclidien possède suffisamment de symétries si le groupe des isométries de \(A\) est irréductible On rappelle qu'un sous-groupe \(G\) de \(\GL(E)\) est irréductible si les seuls sous-espaces vectoriels de \(E\) stables par \(G\) sont les s.e.v. triviaux..

Il se trouve que c'est effectivement le cas pour un polyèdre régulier :

— Dans un espace euclidien de dimension \(3\), l'ensemble \(\S\) des sommets d'un polyèdre régulier possède suffisamment de symétries.

Le groupe \(G\) des isométries de \(\S\) contient au moins deux rotations d'axes distincts et d'angles non multiples de \(\pi\) (considérer des rotations stabilisant deux faces adjacentes). Soit \(F\) un s.e.v. \(G\)-stable non nul de \(E\). Il existe un vecteur \(a\in F\setminus\{0\}.\) L'axe d'au moins l'une des deux rotations, appelons-la \(r\), ne contient pas \(a.\) Le vecteur \(a\) n'est donc pas invariant par \(r\), ni anti-invariant (puisque \(\dim(E)=3\) les seules rotations ayant un vecteur anti-invariant non nul sont les retournements, ce qui est exclu). Les vecteurs \(a\) et \(r(a)\) sont alors non colinéaires, d'où \(\dim F≥2.\) Mais \(F^\perp\) est également \(G\)-stable, d'où \(\dim F^\perp≥2\) ou \(F^\perp=\{0\}.\) Puisque \(\dim E=3\) la seule possibilité est \(F^\perp=\{0\}\) c'est-à-dire \(F=E,\) et donc \(G\) est irréductible.

Remarquons que si \(F\) est un s.e.v. de \(E\) et \(x\in E\) alors \(d(x,F)=||p_{F^\ortho(x)}||.\) L'énoncé de l'ex. 2 est alors un cas particulier du théorème suivant, lequel fournit en outre la valeur \(\sum_{s\in \S}d(s,\D)^2=(2/3)\times \sum_{s\in \S}||s||^2.\)

— Soit \(E\) un espace euclidien et \(A\subset E\) un ensemble fini. Si \(A\) possède suffisamment de symétries, alors pour tout s.e.v. \(F\) de \(E\) on a: \[\dsum_{a\in A}||p_F(a)||^2={\dim F\over \dim E}\>\dsum_{a\in A}||a||^2\,.\]

Pour \(x\in E\) et \(A\subset E\) fini, posons \[u_A(x)=\dsum_{a\in A}(x\ps a)\,a\,.\] \(u_A\) est un opérateur auto-adjoint Précisément \(u_A\) est l'opérateur d'inertie dual de \(A:\) si \(||x||=1\) alors \((u_A(x)\ps x)\) est le moment d'inertie de \(A\) par rapport à l'hyperplan \(x^\perp\)., et a donc une valeur propre \(\lambda\). Mais \(u_A\) commute avec toutes les isométries de \(A:\) si \(g\) est une telle isométrie, alors \(\displaystyle g(u_A(x))=\dsum_{a\in A}(x\ps a)g(a)\) \(\displaystyle =\dsum_{a\in A}(g(x)\ps g(a))g(a)\) \(\displaystyle =\dsum_{b\in A}(g(x)\ps b)b=u_A(g(x))\,.\) Il en découle que \(G\) stabilise le sous-espace propre \(\ker(u_A-\lambda\id)\). Mais \(G\) est irréductible, d'où \(\ker(u_A-\lambda\id)=E\) c'est-à-dire \(u_A=\lambda\id\)Ce qu'on peut voir comme le lemme de Schur appliqué à \(G\) et \(u_A.\).
Ensuite pour tout \(e\in E\) tel que \(||e||=1,\) on a \(\displaystyle\dsum_{a\in A}(e\ps a)^2=\dsum_{a\in A}(e\ps a)(a\ps e)\) \(\displaystyle=(u_A(e)\ps e)=(\lambda e\ps e)=\lambda||e||^2=\lambda\,.\) En considérant une base orthonormale \((e_i)_{1≤i≤p}\) du sous-espace \(F\), on obtient \(\displaystyle\dsum_{a\in A}||p_F(a)||^2=\dsum_{a\in A}\dsum_{i=1}^p(e_i\ps a)^2\) \(\displaystyle=\dsum_{i=1}^p\dsum_{a\in A}(e_i\ps a)^2=\dsum_{i=1}^p\lambda=\lambda\dim F\,.\) Le cas particulier \(F=E\) donne alors \[\dsum_{a\in A}||a||^2=\lambda \dim E\,,\] ce qui donne la valeur de \(\lambda\) et termine la preuve.

On peut maintenant facilement étendre le th. 1 à un résultat plus général permettant de traiter non seulement l'ex. 2 mais aussi l'exercice initial ainsi que plusieurs autres situations géométriques analogues. Il suffit de remplacer l'utilisation d'un ensemble fini de vecteurs par celle d'une famille finie. Soit \(I\) un ensemble (d'indices). On suppose donnée une action \((g,i)\mapsto g\cdot i\) du groupe orthogonal \(O(E)\) sur \(I\). On dira qu'une famille de vecteurs \((x_i)_{i\in I}\) est admissible si \(g(x_i)=x_{g\cdot i}\) pour tout \(i\in I\) et \(g\in O(E).\) Comme précédemment une isométrie d'un ensemble \(J\subset I\) est une isométrie qui laisse \(J\) globalement invariant, et on dit que \(J\) possède suffisamment de symétries si son groupe d'isométries est irréductible. On a alors

— Soit \(f=(x_i)_{i\in I}\) une famille admissible de vecteurs dans un espace euclidien \(E\) et \(J\subset I\) un ensemble fini ayant suffisamment de symétries. Pour tout s.e.v. \(F\subset E\) on a : \[\dsum_{i\in J}||p_F(x_i)||^2={\dim F\over \dim E}\>\dsum_{i\in J}||x_i||^2\,.\]

C'est la même preuve que pour le théorème 1 en considérant cette fois \(u_f(x)=\sum_{i\in I}(x\ps x_i)\,x_i\) au lieu de \(u_A(x)=\dsum_{a\in A}(x\ps a)\,a.\)

  1. a Le th. 2 redonne le th. 1, lorsqu'on l'applique à \(I=E\) et à la famille indexée par l'identité.
  2. b L'ex. 1 se résout en prenant
    • \(I=E\times E\) et, pour \((a,b)\in I,\) et \(g\in O(E),\) \(g\cdot (a,b)=(g(a),g(b)).\)
    • \(x_{(a,b)}=b-a.\) L'admissibilité de \((x_{(a,b)})\) provient de la linéarité de \(g.\)
    • \(J=\{(a,b)\in E\times E\,,\>\{a,b\}\) est une arête du polyèdre\(\}\) (On se donne donc deux couples \((a,b)\) et \((b,a)\) pour chaque arête \(\{a,b\}\) telle que \(a≠b\)). De façon évidente \(J\) possède suffisament de symétries, puisque toute isométrie du polyèdre envoie une arête sur une arête, et par conséquent est une isométrie de \(J.\)
  3. cUn polyèdre n'a pas besoin d'être régulier pour vérifier la propriété de l'ex. 1 : il suffit qu'il ait même groupe d'isométries qu'un polyèdre régulier Il suffit même que son groupe d'isométries contienne celui d'un polyèdre régulier.. On peut par exemple l'obtenir par troncature d'un polyèdre régulier (par exemple, l'énoncé de l'ex. 1 subsiste pour des polyèdres archimédiensVoir par exemple la page traitant des polyèdres archimédiens sur Wikipedia ou sur Mathcurve.) ou au contraire en faisant pousser d'autres polyèdres sur les faces, par exemple en appuyant sur chaque face d'un polyèdre régulier une pyramide ou un prisme de hauteur fixée.
  4. dAppelons squelette tout ensemble fini \(J\subset E\times E.\) À partir des squelettes des arêtes de polyèdres réguliers, ou de squelettes donnés par la remarque c), on peut en construire beaucoup d'autres vérifiant la propriété de l'ex. 1 en remarquant que l'ensemble de ces squelettes est stable par translations et unions disjointes.